พาราโบลา: 2014

พาราโบลา พาราโบลาคือ ก็คือเส้นโค้ง เช่น เวลาเราโยนลูกบอล ขึ้นไปกลางอากาศ วิถีการเดินทางของลูกบอล ก็จะค่อยๆขึ้นและก็ตกลงมาวิถีการเดินทางของมันจะเป็นเส้นโค้ง การโค้งๆนั้น เรียกว่า พาราโบลา มาดูตัวอย่างของพาราโบลา และส่วนประกอบต่างๆของพาราโบลากัน

จากภาพเป็นการเคลื่อนตามแนววิถีโค้ง

รูปตัวอย่างพาราโบลา

พาราโบลา มันมีสมการประจำตัวของมันคือ
         $y=ax^{2}+bx+c$ นี้คือสมการพาราโบลา คือถ้านำสมการนี้ไปพลอตกราฟก็จะได้กราฟเป็นเส้นโค้ง
           แต่สมการนี้ มันบอกอะไรเราไม่ได้ คือ บอกไม่ได้ว่ามันเป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย จุดสูงสุด จุดต่ำสุดอยู่ที่ไหน บอกไม่ได้เลย เขาจึงจัดรูปสมการนี้ใหม่คือ จัดให้อยู่ในรูปแบบของ $y=a(x-h)^{2}+k$
           โดยถัาจัดให้อยู่ในรูปนี้แล้วจะบอกได้เลยว่า เป็นพาราโบลาคว่ำหรือพาราโบลาหงาย บอกจุดต่ำสุดและจุดสูงสุดได้ บอกแกนสมมาตรได้ด้วย ซึ่งเราสามารถดูง่ายๆได้ดังนี้

ค่า a เป็นค่าที่บ่งบอกว่า พาราโบลานั้นเป็นพาราโบลา คว่ำหรือว่าหงาย
ถ้า a>0 คือเป็นจำนวนจริงบวก พาราโบลานั้นเป็นพาราโบลาหงาย
         $y=4(x-3)^{2}+2$ ค่า a=4 เป็นพาราโบลาหงาย
ถ้า a<0 คือเป็นจำนวนจริงลบ พาราโบลานั้นเป็นพาราโบหลายคว่ำ
         $y=-4(x-3)^{2}+2$ ค่า a=-4 เป็นพาราโบลาคว่ำ

           หลายคนคงไม่คำถามเกิดขึ้นในใจว่า แล้วถ้า a=0 หล่ะ มันจะเป็นพาราโบลาอะไร คำตอบคือ มันไม่เป็นพาราโบลาคับ มันจะไม่ใช่เส้นโค้งแล้ว แต่จะเป็นสมการเส้นตรง!!!(ตรงนี้คณะผู้จัดทำขอให้ไปศึกษากันเองเนื่องจากทำBlogเรื่องพาราโบลาไม่ใช่สมการเส้นตรง)
ค่า h และ ค่า k เป็นค่าที่บอกว่าจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาอยู่ในตำแหน่งหรือพิกัดอะไร
เช่น พาราโบลา ที่มีสมการ $y=2(x-3)^{2}+5$ จากสมการพาราโบลานี้ ค่า a=2 ค่า h=3 และค่า k=5 ดังนั้นพาราโบลานี้เป็นพาราโบลาหงาย มีจุดต่ำสุดอยู่ที่ตำแหน่งหรือพิกัด (3,5)

            ส่วนวิธีการดูแกนสมมาตร ให้ดูที่ค่าของ h เช่นจากสมการพาราโบลาที่ยกตัวอย่างให้ดูข้างบน h=3 แสดงว่าแกนสมมาตรคือ เส้นตรง x=3
           แต่ถ้าสมการของพาราโบลา เป็นแบบนี้ $y=-3(x-2)^{2}+5$ จะเห็นว่าค่า ของ h=2 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลา นี้คือ เส้นตรง x=2 คับ
ถ้า $y=5(x-9)^{2}+1$ จะเห็นว่าค่าของ h=9 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลา คือ เส้นตรง x=9
ถ้า $y=5(x+9)^{2}+1$ จะเห็นว่าค่าของ h=-9 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลา คือ เส้นตรง x=-9
ถ้า $y=10(x-12)^{2}+14$ จะเห็นว่าค่าของ h=12 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลานี้ คือ เส้นตรง x=12
ถ้า $y=10(x+12)^{2}+14$ จะเห็นว่าค่าของ h=-12 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลานี้ คือ เส้นตรง x=-12

ต่อไปนี้ผมขอยกตัวอย่าง การทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับเรื่องพาราโบลา ขอให้ทุกคนตั้งอ่านน่ะคับ ถ้าเข้าใจหลักการมันแล้วไม่ยากคับ ง่ายจริงๆ คับ เริ่มกันเลย
            1) จงพิจารณาสมการ $y=2x^{2}-4x+5$ แล้วตอบคำถามต่อไปนี้
            2) กราฟเป็นพาราโบลา คว่ำหรือพาราโบลาหงาย
            3) จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟเป็นจุดใด
            4) เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร

เริ่มทำกันเลย
จากสมการพาราโบลา คือ $y=2x^{2}-4x+5$ จัดสมการนี้ให้อยู่ในรูปของ

          $y=a(x-h)^{2}+k$
จาก
          $y=2x^{2}-4x+5$
          $y=(2x^{2}-4x)+5$ จุดกลุ่มแล้วดึงตัวร่วม แต่ตัวแปรไม่ต้องดึงออก
          $y=2(x^{2}-2x)+5$
          $y=2(x^{2}-2x(1)+1^{2}-1^{2})+5$ ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ บรรทัดนี้ยากนะค่อยๆอ่าน
          $y=2(x^{2}-2x(1)+1^{2})-2(1)^{2}+5$
          $y=2(x-1)^{2}-2+5$
          $y=2(x-1)^{2}+3$ นำสมการที่ได้นี้ไปเที่ยบกับสมการ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้ว่า

a=2 ซึ่ง ค่า a เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น พาราโบลานี้เป็นพาราโบลา หงาย
h=1,k=3 ดังนั้นพาราโบลานี้มีจุดต่ำสดุอยู่ที่พิกัด (1,3) มันเป็นพาราโบลาหงายน่ะไม่มีจุดสูงสุดมีเฉพาะจุดต่ำสุดน่ะ
เนื่องจาก h=1 ดังนั้น เส้นตรง x=1 เป็นแกนสมมาตร

สรุป
             สมการพาราโบลาคือสมการที่อยู่ในรูปของ $y=ax^{2}+bx+c$ และเขานำสมการเหล่านี้มาจัดรูปใหม่ให้อยู่ในรูปของ $y=a(x-h)^{2}+k$ จัดให้อยู่ในรูปนี้เพราะจะง่ายต่อการดูว่า พาราโบลามันหงายหรือคว่ำ จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่จุดใด แกนสมมาตรคือเส้นตรงอะไร
โดยที่
ค่าของ a จะเป็นตัวที่บอกว่าพาราโบลานั้นเป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย คือ
ถ้า a เป็นจำนวนบวก พาราโบลานั้นจะเป็นพาราโบลาหงาย
แต่ถ้า a เป็นจำนวนลบ พาราโบลานั้นจะเป็นพาราโบลาคว่ำ
ส่วน คู่อันดับ (h,k) เป็นค่าที่บอกว่าพาราโบลานั้นมีจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดอยู่ที่จุดไหน
เช่น $y=4(x-3)^{2}+6$ ค่า a=4 แสดงว่าเป็นพาราโบลาหงาย ค่า h=3 และค่า k=6 ดั้งนั้นพาราโบลานี้มีจุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (3,6) คับ
ค่าของ h เป็นตัวที่บอกว่าแกนสมมาตรคือเส้นตรงอะไร
เช่นจากตัวอย่างข้างต้น ค่า h=3 แสดงว่าแกนสมมาตรคือเส้นตรง x=3
มาดูตัวอย่างกันคับ
1. จากสมการพาราโบลาที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ จงตอบคำถามต่อไปนี้

เป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย
จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่จุดใด
แกนสมมาตรคือเส้นตรงอะไร

1.1 $y=2(x-1)^{2}+3$
วิธีทำ จากโจทย์ $y=2(x-1)^{2}+3$
นำสมการจากโจทย์มาเปรียบเทียบกับสมการ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้ว่า
a=2 (เป็นจำนวนบวก) ,h=1,k=3 จึงได้ว่า
เป็นพาราโบลาหงาย
มีจุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (1,3)
แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=1
1.2 $y=-3(x-4)^{2}+8$
วิธีทำ จากโจทย์ $y=-3(x-4)^{2}+8$
นำสมการจากโจทย์มาเปรียบเทียบกับสมการ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้ว่า
a=-3 (เป็นจำนวนลบ) ,h=4,k=8 จึงได้ว่า
เป็นพาราโบลาคว่ำ
มีจุดสูงสุดอยู่ที่จุด (4,8)
แกนสมมาตรคือ เส้นตรง x=4
1.3 $y=-9(x+3)^{2}-4$
วิธีทำ จากโจทย์ $y=-9(x+3)^{2}-4$ สังเกตให้ดีๆน่ะโจทย์ข้อนี้มันยังไม่อยู่ในรูปแบบของ $y=a(x-h)^{2}+k$ เพราะว่าหลังตัว x ต้องเป็นเครืองหมายลบ และ ข้างหน้า ตัว k ต้องเป็นเครืองหมายบวก ดังนั้นเราต้องจัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ
$y=a(x-h)^{2}+k$
จาก $y=-9(x+3)^{2}-4$ จัดรูปใหม่
$y=-9(x-(-3))^{2}+(-4)$ ดังนั้นเราจึงได้ว่า a=-9 ,h=-3 , k=-4
เป็นพาราโบลาคว่ำ
มีสูงสุดอยู่ที่จุด(-3,-4)
แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=-3
1.4 $y=3x^{2}$
วิธีทำ จากโจทย์คือ $y=3x^{2}$ จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้
$y=a(x-h)^{2}+k$
$y=3x^{2}$
$y=3(x-0)^{2}+0$ ลองเทียบกับสมการ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้ a=3 ,h=0 ,k=0 จึงได้
เป็นพาราโบลาหงาย
จุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (0,0)
แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=0 หรือ แกน Y นั่นเอง
1.5 $y=-\frac{2}{3}x^{2}$
วิธีทำ จากโจทย์คือ $y=-\frac{2}{3}x^{2}$ จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้
$y=a(x-h)^{2}+k$
$y=-\frac{2}{3}x^{2}$
$y=-\frac{2}{3}(x-0)^{2}+0$ ลองเที่ยบกับสมการ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้ $a=-\frac{2}{3}$ ,h=0 ,k=0 จึงได้ว่า
เป็นพาราโบลาคว่ำ
จุดสูงสุดอยู่ที่ (0,0)
แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=0 หรือ แกน Y
1.6 $y=(x-3)^{2}$
วิธีทำ จากโจทย์คือ $y=(x-3)^{2}$ จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้
$y=a(x-h)^{2}+k$
$y=(x-3)^{2}$
$y=(x-3)^{2}+0$ ลองเทียบกับสมการ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้ a=1,h=3,k=0 จึงได้ว่า
เป็นพาราโบลาหงาย
จุดต่ำสุดคือจุด (3,0)
แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=3
1.7 $y=-6(x-3)^{2}$
วิธีทำ จากโจทย์คือ $y=-6(x-3)^{2}$ จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้
$y=a(x-h)^{2}+k$
$y=-6(x-3)^{2}+k$
$y=-6(x-3)^{2}+0$ ลองเที่บบกับสมการ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้ a=-6 ,h=3,k=0 จึงได้ว่า
เป็นพาราโบลาคว่ำ
จุดสูงสุดอยู่ที่จุด (3,0)
แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=3
1.8 $y=12(x+5)^{2}$
วิธีทำ จากโจทย์คือ $y=12(x+5)^{2}$ จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้
$y=a(x-h)^{2}+k$
$y=12(x+5)^{2}$
$y=12(x-(-5))^{2}+0$ ลองเทียบกับสมการ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้ a=12,h=-5,k=0 จึงได้ว่า
เป็นพาราโบลาหงาย
มีจุดต่ำสุดที่จุด(-5,0)
แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=-5
1.9 $y=x^{2}+6x+8$
วิธีทำ จากโจทย์ $y=x^{2}+6x+8$ จะเห็นว่า สมการพาราโบลาข้อนี้อยู่ในรูปของสมการ $y=ax^{2}+bx+c$ ดังนั้นเราต้องจัดสมการให้อยู่ในรูปของ $y=a(x-h)^{2}+k$ ก่อน
จาก $y=x^{2}+6x+8$
$y=(x^{2}+2x(3)+3^{2}-(3)^{2})+8$
$y=(x+3)^{2}-(3)^{2}+8$
$y=(x+3)^{2}-1$
$y=(x-(-3))^{2}+(-1)$ ลองเทียบกับสมการนี้คับ $y=a(x-h)^{2}+k$ จะได้ว่า
a=1,h=-3,k=-1 จึงได้ว่า
เป็นพาราโบลาหงาย
จุดต่ำสุดอยู่ที่จุด(-3,-1)
แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=-3
ค่าต่ำสุดคือ y=-1

ข้อ 1.9 จะเห็นว่า สมการพาราโบลา อยู่ในรูปของสมการ $y=ax^{2}+bx+c$ ในการที่จะหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดค่อนข้างยากเพราะต้องจัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูป $y=a(x-h)^{2}+k$ แต่มีวิธีที่ง่าย คือวิธีการใช้สูตร!!! โดยเราสามารถใช้สูตรในการหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาได้ดังนี้

ถ้าโจทย์กำหนดสมการพาราโบลาให้ในรูปแบบของสมการ $y=ax^{2}+bx+c$ เราสามารถหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาที่กำหนดโดยสมการแบบนี้ ดังนี้

จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดจะอยู่ที่

$\left(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$